YUngrisTAngular,1QUaningWU,1,* XIaoyiCGALLINA2 YHAoZCOLGAR1,2
1Jiangsu Key Laboratory of Micro and Nano Heat Fluid Flow and Energy Application, School of Mathematics and Physics, Universidad de Ciencia y Tecnología de Suzhou, Suzhou, Jiangsu, 215009, China
2Estación de práctica de posgrado en Soochow Mason Optics Co., Ltd., Suzhou, Jiangsu 215028, China
*wqycyh@mail.usts.edu.cn
Abstracto: Proponemos un método numérico para el diseño de una lente de adición progresiva (PAL) que puede acomodar más necesidades personales en comparación con el uso de la solución analítica de la ecuación de Laplace. En nuestro método, la función auxiliaru(x, y) de un PAL se obtiene mediante la solución numérica de la ecuación de Laplace con las condiciones de límite y enlace. La condición límite se obtiene utilizando el algoritmo genético con la entrada del requisito individual. La condición del enlace se determina utilizando el método de diferencia finita con un más suaveu(x, y) en el meridiano. Se dan dos ejemplos para al aire libre y
uso de la oficina. En ambos casos, el área de astigmatismo se empuja hacia un área pequeña cerca del borde de la lente.
© 2017 Optical Society of America
Códigos OCIS:(220.0220) diseño óptico y fabricación; (080.0080) óptica geométrica.
Referencias y enlaces
JT Winthrop, Wellesley y Mass, "Progressive Addition Spectacle Lens", US Patent Number 4861153, 1989.
T. Steele, H. McLoughlin y D. Payne, "Progressive Addition Power", US Patent Número 6776486b2, 2004.
J. Loost, G. Greiner y HP Seidel, "Un enfoque variacional para el diseño de la lente progresiva", Comput. Ayudado Des.
30(8), 595–602 (1998).
J. Wang, "Diseño de lentes progresivas Análisis-Matemático y Métodos Numéricos" (Eden Prairie: Tesis doctoral de la Universidad de Minnesota, 5–54 (2002).
J. Wei, W. Bao, Q. Tang y H. Wang, "Un método numérico de diferencia variacional para diseñar lentes de adición progresiva", Comput. Ayudado Des.48(3), 17–27 (2014).
Q. Wu, L. Qian, H. Chen, Y. Wang y J. Yu, "Investigación sobre diseño de líneas meridianas para lentes de adición progresiva", Acta Opt. Pecado.29(11), 3186–3191 (2009).
Y. Tang, Q. Wu, X. Chen, H. Zhang e Y. Long, "Optimización de la línea meridiana de lentes de adición progresiva basadas en el algoritmo genético", Acta Opt. Pecado.34(9), 09220051–09220057 (2014).
Z. da,Fundamentos del cálculo de variaciones (segunda edición), (Industria de Defensa Nacional, 2007), cap. 2.
H. Fan, yoTHOD para ecuaciones diferenciales parciales (ingeniería civil), (China Machine, 2013), cap. 1.
Wh Press, Sa Teukolsky, WT Vetterling, BP Flannery,Recetas numéricas en C: El arte de la computación científica(Universidad de Cambridge, 1992), Sec. 19.2, 19.5.
1. Introducción
Una lente de adición progresiva (PAL) proporciona una visión clara sin interrupciones a diferentes distancias de visualización. Hay dos categorías principales de métodos para diseñar amigos. Uno pertenece al método directo. Por ejemplo, Winthropet al. [1] describió un sistema en el que los diseñadores especificaron la potencia focal a lo largo del meridiano umbilical. Tanto la forma del resto de la lente como las curvaturas de la superficie progresiva están determinadas por la función auxiliaru(x, y). Los contornos de la función auxiliar enx-y El avión se llaman curvas de nivel. El
La función auxiliar se obtuvo resolviendo analíticamente la ecuación de Laplace. Steeleet al. [2] especificó la potencia focal sobre toda la superficie utilizando cónicas (como una función auxiliar) y obtuvo la forma de la superficie del PAL al resolver una ecuación diferencial parcial elíptica. La otra forma es determinar la superficie de PAL indirectamente. Por ejemplo, Loostet al. [3], Wang
[4], Wei [5] ideó una función de evaluación que intenta alcanzar un equilibrio entre la distribución deseada del poder focal y el astigmatismo no deseado. La superficie de PAL se obtuvo minimizando numéricamente la función de evaluación. En los métodos directos, los diseños de la potencia focal meridiana y las curvas de nivel son dos puntos clave. Recientemente, se ha descrito la técnica para buscar la distribución de potencia focal optimizada en la línea meridiana [6,7]. Gangónet al. y Steeleet al. Presentó las expresiones analíticas para las curvas de nivel [1,2]. Todos estos métodos tienen solo dos o tres parámetros para ajustar las curvas de nivel. Por lo tanto, su capacidad para satisfacer las necesidades personales de corrección de la visión es limitada.
Proponemos un método que pueda acomodar más necesidades personales en comparación con los métodos mencionados anteriormente. En nuestro enfoque, las curvas de nivel se obtienen resolviendo numéricamente la ecuación de Laplace con las condiciones de límite y enlace que dependen de la situación individual. Existe una relación compleja entre la condición límite de la ecuación de Laplace y el astigmatismo. La condición límite se obtiene utilizando el algoritmo genético con la entrada del requisito personalizado. Para minimizar el astigmatismo en la línea meridiana, proponemos una condición de enlace más suave utilizando el principio de variación y el método de diferencia finita. El método proporciona flexibilidad y eficiencia para la determinación de una lente individualizada.
2.diseño de las curvas de nivel para una lente de adición progresiva
La superficie de un PAL se divide en cuatro regiones (Fig. 1). El área de distancia 1 en la parte superior de la lente tiene una potencia focal relativamente baja. El área cercana 2 es 10-18 mm por debajo del área de distancia y tiene una potencia focal relativamente alta. El corredor progresivo 3 conecta la distancia y las áreas cercanas. Las áreas de astigmatismo 4 están a la izquierda y a la derecha del corredor progresivo con astigmatismo relativamente severo. La diferencia en la potencia focal entre el punto de referencia A en el área de distancia y el punto de referencia B en el área cercana se considera como potencia de adición (ADD) del PAL. El área de distancia, el área cercana y el corredor progresivo se llaman regiones de visión efectivas. Las áreas de astigmatismo no pueden usarse para corregir la visión de un usuario.
Fig. 1. Cuatro regiones de un pal.
El origen o es el centro de la lente yx-y El avión es tangente a la lente. El eje x apunta hacia abajo en la dirección de aumentar la potencia focal. Elz-Exis señala del papel hacia el lector. La línea meridiana conecta los puntos A y B. La distancia entre el punto A y B es la longitud del corredor progresivo.
El método de diseño directo se divide en varios pasos. El primer paso es diseñar la potencia focal de Meridian (a lo largo de la línea meridiana) y la función auxiliaru(x, y). El segundo
El paso es determinar la curvatura y los centros de curvatura en cada punto de la superficie de PAL. El último paso es obtener la altura del vectorz(x, y) .
La distribución de energía focal debe ser suave sobre la superficie de la lente, por lo que la función auxiliaru(x, y) necesita distribuir sin problemas. Un criterio para la suavidad requiere que la suma cuadrática de las derivadas parciales ¶u / ¶x y ¶u / ¶y ser un mínimo, es decir, el
Dirichlet Integral es mínimo. Según el principio de variación de Euler-Lagrange, la función auxiliaru(x, y) satisface la ecuación de Laplace
Proponemos resolver la ecuación. (1) Uso de la técnica numérica. La condición límite de la ecuación de Laplace se optimiza utilizando el algoritmo genético, mientras que la condición del enlace se obtiene utilizando el método de diferencia finita.
2.1 La condición límite de la ecuación de Laplace
El punto de controluk representa uno de los puntos de cuadrícula en el límite del dominio computacional ω y se define como
Aquíh está relacionado con la longitud del corredor progresivo,L es la distancia del punto A al punto original O, ypk es el parámetro de control del algoritmo genético que varía de 0 a 1.K es el número de 'cromosomas' en el algoritmo genético. La secuencia de todos los 'cromosomas'h - L .
pk constituye un vector como un "individuo". El valor deuk varía de -L a
La función objetivof del algoritmo genético cumple con los méritos del vector [7]
Aquí F1 es el astigmatismo máximo del pal. El astigmatismo máximo debe cumplir con el requisito f* =r P - P , dóndeP yP son los poderes focales en los puntos A y B, 1A B A B yr es el factor de ponderación de la potencia adicional. Fi ( i = 2, 3l6) son los valores medios del astigmatismo en el área de distancia, área cercana y corredor progresivo y dosÁreas de astigmatismo respectivamente. Fi ( i = 7, 8, 9) son los valores de potencia medios en el área de distancia, cerca del área y el corredor progresivo respectivamente. F* son los valores objetivos correspondientes. Fi Cambio en el bucle del algoritmo genético para buscar el límite optimizadocondiciones.a1 ,...,a6 son los factores de ponderación de las áreas correspondientes del astigmatismo.a7 ,a8 ya9 son los factores de ponderación de las áreas correspondientes de la diferencia de energía focal.r ( 0.75 £ r £ 1) yai ( 0.1 £ ai £ 2) son valores relativos y se determinan por las preferencias de los usuarios. Para actividades al aire libre, se necesita un área de distancia amplia, por lo que el factor de ponderacióna2 debería ser más grande quea3. Para las actividades de la oficina, un área de distancia más pequeña y una más grandeSe buscan cerca del área, por lo que el factor de ponderacióna3 debería ser más grande quea2. En cualquier caso, queremos el astigmatismo lo menos posible, pero el esfuerzo está limitado por otras demandas, como las dimensiones de la distancia clara y las regiones cercanas. En realidad, es una compensación entre el área de distancia, el área cercana y el astigmatismo.
2.2 La condición de enlace de la ecuación de Laplace
En el arte anterior [1], la función auxiliaru(x, y) en la línea meridiana entre los puntos A y B es el siguiente
Para reducir el astigmatismo del amigo, tratamos de mantener el poder focal estable
Más allá del punto A y el punto B en la línea meridiana. La funciónu(x, 0) debería cambiar más
suavemente. En los puntos A y B,u(x, 0) es igual ax, las pendientes deben ser iguales a cero,u(x, 0) debe tener un orden superiorN de las primeras derivadas diferenciales no vanguardistas. En la línea meridiana entre los puntos A y B, los valores absolutos de las derivadas diferenciales son
mínimo cuando el pedido es menor queN o igual aN .
Minimizamos la suma del cuadrado de las derivadas con la orden de 1 a N
La expresión analítica deu(x, 0) para el mínimo de la ecuación. (5) Satisface la ecuación Euler-Poisson [8]
De la ecuación. (7) y la ecuación. (8),Ci ( i = 1, 2,..., 2N ) en la ecuación. (10) se obtienen. Entonces la función auxiliaru(x, 0) en línea meridiana se obtiene.
Más,ui, j a dos lados de la línea meridiana con anchod está determinado por el esquema de diferencia finita [9]. Usamos una cuadrícula cuadrada (xi , y j ) para calcular numéricamenteui, j .
Dadoui, j = u(xi , y j ), la fórmula de diferencia finita centrada se usa para la segunda derivada
Aquí äy es el tamaño de paso. Suponiendo el eje simétrico deu(x, y) es igual aui, j -1. Reorganización de la ecuación. (11), obtenemos la línea meridiana,ui, j +1
(12) Basado en la ecuación de Laplace y agregue un factor de optimizaciónau , obtenemosu = u - 1 a Äy i, j ±1 i, j 2 u
(13)è øi, j Entonces los valores deui, j ± n n = 1, 2, 3 ... están analogizados a su vez. Los valores deu(x, y) se obtienen entre los límites izquierdo y derecho del corredor progresivo. El ancho del corredor progresivo y los factores de optimizaciónau Cambiar de acuerdo con diferentes necesidades personales.
Solución numérica de la ecuación de LaplaceLa ecuación de Laplace con las condiciones de límite y enlace obtenidas anteriormente se puede escribir comoy2 0, (x, y)
u(x , y ) = f (x , y ) (x , y ) Î B
(14)
ïîu(xL , yL ) = j(xL , yL ), (xL , yL ) Î DL
Aquí el dominio ω es una región cuadrada tangente al palo,BG el límite,DL el área de condición de enlace, condición
f(xG , yG) la condición límite optimizada yj(xL , yL )
El enlace de la ecuación de Laplace se cambia a un conjunto de ecuaciones de diferencia por el esquema de diferencia finita.
1 £ i £ m -1;1 £ j £ m -1
iG = 0,m, 0 £ jG £ m
íui, j = f(iG g, jG g), j
= 0,m
0 £ j £ m
(15) Aquíg = Äx = Äy es el paso y la longitud lateral del cuadrado Ω esmgconm un entero.
Eqs lineales. (15) se resuelven mediante el enfoque sucesivo de re-relaxación de cobertura (SOR) [10]. La técnica SOR emplea una serie repetitiva de barridos sobre la malla para converger en una solución. La tasa de convergencia depende del valor del factor de relajación excesivo (ORF), y un valor preferido del ORF se determina experimentalmente. Una ventaja importante de la técnica SOR es que alcanza la convergencia en un tiempo proporcional a la raíz cuadrada del número de puntos de malla. Esta característica implica que a un costo modesto en el tiempo computacional, se puede implementar una densidad de malla suficiente para que SOR converja a la solución.
3. Examples y discusión
Aplicamos el método propuesto a dos ejemplos para demostrar cómo se logra una distribución específica de la potencia focal y el astigmatismo de un pal. En el primer ejemplo, el usuario usa el PAL para actividades al aire libre. Por lo tanto, se necesita un área de distancia amplia. Según la prescripción, el PAL tiene un -2. 00 potencia focal de diopter en el área de distancia y un + 2. 00 potencia de adición de diopter. El índice de refracción del material de la lente es 1.523. La superficie frontal del PAL es una superficie esférica con + 2. 00 potencia focal de diopter. La superficie posterior es una superficie de adición progresiva con -4. 00 potencia focal de diopter en el área de distancia y -2. 00 potencia focal de diopter en el área cercana. Los valores deh yL son 34 y 17 respectivamente.
Para comparar el rendimiento del método propuesto con los métodos analíticos anteriores, un método Winthrop calcula una superficie progresiva. La solución de la ecuación de Laplace es una expresión analítica con parámetrosh , L , x yy . Las curvas de nivel son
se muestra en la Fig. 2.
Fig. 2. Las curvas de nivel obtenidas resolviendo analíticamente la ecuación de Laplace.
La altura del vectorz(x, y) se obtiene por una serie de ecuaciones. Basado en la primaria
Se calcula la geometría diferencial, el poder focal y el astigmatismo de la superficie progresiva. Los contornos de ellos se muestran en la Fig. 3. La longitud del corredor progresivo es de aproximadamente 16 mm. El ancho del área de visión clara (astigmatismo<0.5 diopter) in the distance area at x = -10 mm es de aproximadamente 26 mm, que no es lo suficientemente ancho para la visión al aire libre.
Fig. 3. El poder focal (a) y el astigmatismo (b) de la superficie progresiva por el método Winthrop.
Para obtener un área de distancia más amplia, el factor de ponderaciónai de la función objetivo para determinar las condiciones límite de la ecuación de Laplace se selecciona como se muestra en la Tabla 1. Las condiciones de contorno obtenidas con el algoritmo genético se muestran en la Fig. 4 y la Fig. 5.
Fig. 4. Condiciones límite de los lados izquierdo y derecho.
Fig. 5. Condiciones límite de la distancia y las zonas cercanas.
Al resolver la ecuación de Laplace numéricamente con las condiciones de límite y enlace, el optimizadou(x, y) se obtiene. Los contornos de optimizado
u(x, y) se muestran en la Fig. 6.
Comparar con la Fig. 2, el área es más amplia en la que el valor deu(x, y) que es más pequeño que -14.
Fig. 6. CONTURAS LÍNEAS DE OPTIMIZADOu(x, y) en el primer ejemplo.
Una vezu(x, y) se obtiene,z(x, y) se puede derivar utilizando los pasos de diseño anteriores. Los contornos de la potencia focal y el astigmatismo se muestran en la figura 7. El rendimiento óptico de la superficie progresiva se da en la Tabla 3. Se puede ver que el área de distancia (potencia focal<-3.75 diopter) in Fig. 7 (a) is greatly improved than that in Fig. 3 (a). The width of the clear vision area (astigmatism<0.5 diopter) in distance area at x = -10 mm es de aproximadamente 46 mm, que es más adecuado para la visión al aire libre.
Fig. 7. La potencia focal (a) y el astigmatismo (b) de la superficie progresiva en el primer ejemplo.
El PAL del primer ejemplo ha sido fabricado con un grabado CNC y una máquina de pulir. Las propiedades ópticas se miden con un verificador de forma libre de rotlex (FFV) para proporcionar potencia focal y astigmatismo (o llamado cilindro) del PAL. Los contornos de la potencia focal probada y el astigmatismo se muestran en la figura 8. El rendimiento óptico del PAL se muestra en la Tabla 3. Es menor que 0. 0 2 diopter que la diferencia de la potencia de adición entre la superficie de progreso y el PAL fabricado. La desviación del astigmatismo máximo es inferior a 0.02 diopter. Debido a la influencia de la curvatura de la superficie frontal, el ancho se reduce de 12 mm y 2 mm en la zona de distancia (astigmatismo<0.5 diopter, x = -10 mm) y cerca de la zona (astigmatismo<0.5 diopter, x = 18 mm) del PAL fabricado que los de la superficie progresiva.
Fig. 8. El poder focal (a) y el astigmatismo (b) del PAL probado por FFV.
En el segundo ejemplo, los parámetros básicos son los mismos que los del primero. El amigo se usa en la oficina. Por lo tanto, se necesita un área cercana más grande y un corredor más amplio. El anchod se establece en 9 mm en lugar de 6 mm como en el primer ejemplo. Los factores de ponderación basados en la necesidad de una visión cercana se muestran en la Tabla 2. Las condiciones de contorno obtenidas con el algoritmo genético se muestran en la Fig. 9 y la Fig. 10. Los contornos de optimizadosu(x, y) se muestran en la Fig. 11.
Fig. 9. Condiciones límite de los lados izquierdo y derecho.
Fig. 10. Condiciones límite de la distancia y las zonas cercanas.
Fig. 11. CONTURAS LÍNEAS DE OPTIMIZADOu(x, y) en el segundo ejemplo.
La Figura 12 muestra los contornos del poder focal y el astigmatismo del segundo ejemplo. La Tabla 3 es la comparación de rendimiento óptico entre el primer ejemplo y el segundo ejemplo. El ancho del área de distancia del primer ejemplo es 24 mm más amplio que el del segundo ejemplo enx = -10 mm. El ancho del área cercana del segundo ejemplo es 8 mm más amplio que el del primer ejemplo enx = 18 mm. El astigmatismo máximo del segundo ejemplo es más pequeño que el del primer ejemplo, y el ancho del corredor es más amplio.
Fig. 12. La potencia focal (a) y el astigmatismo (b) de la superficie progresiva en el segundo ejemplo.
La Tabla 1 y la Tabla 2 son los factores de ponderación basados en las diferentes necesidades del usuario. Los parámetros der yai de la función objetivo están determinadas por las necesidades y la preferencia del usuario. El factor de ponderación de astigmatismoa2 se selecciona un valor mayor para actividades al aire libre. Valores más grandes de los factores de ponderacióna3 , a4 , a5 ya6 se seleccionan para uso de la oficina.
4.Conclusión
En este estudio, hemos desarrollado un enfoque de diseño novedoso que tiene más control sobre la función auxiliar y, por lo tanto, cumple con la corrección de la visión más individualizada. Para lograr el objetivo, resolvemos la ecuación de Laplace numéricamente. Las condiciones de límite y enlace están configuradas para satisfacer requisitos específicos. Como resultado, una necesidad específica de las dimensiones y poderes focales de la distancia y las regiones cercanas se pueden satisfacer en el diseño de PAL en mayor medida. Los tamaños y distribuciones de las áreas de astigmatismo también mejoran con nuestro enfoque. Los ejemplos demuestran la capacidad de nuestro enfoque.
Fondos
Fundación Nacional de Ciencias Naturales de China (NSFC) (61378056); Fundación de Ciencias Naturales de las Instituciones de Educación Superior de la Provincia de Jiangsu (China) (17KJA140001); el programa PAPD de la provincia de Jiangsu; Jiangsu Disciplinas clave de trece plan de cinco años (20168765); Laboratorio clave de Suzhou para materiales y dispositivos optoelectrónicos de baja dimensión (SYG201611); Plan de innovación de tecnología de la industria de Suzhou (SYG201646); El Centro de Innovación USTS.
Expresiones de gratitud
Los autores también agradecen al profesor Qian Lin de la Universidad Soochow por valiosos consejos y al Dr. Cao Zongjian de la Universidad de Augusta en EE. UU. Por sugerencias editoriales.